Tích có hướng là gì?

Khi học phổ thông, kiến thức về vec-tơ, tích có hướng, tích vô hướng là những kiến thức cơ bản và nền tảng. Đây là nguồn kiến thức quan trọng trong toán học và trong thực tế. Vậy, tích có hướng là gì? Chúng ta cũng tham khảo nhanh kiến thức này ngay!

Trong chương trình Toán học lớp 12 THPT về mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, có một đề mục rất quan trọng liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những phần lý thuyết tổng quát, dễ hiểu nhất của tích có hướng để nắm bắt nhanh chóng, áp dụng hiệu quả và cải thiện điểm số trên lớp học, nhất là các kiến thức về vec-tơ và tích có hướng.

Tích có hướng là gì?

Khái niệm: Tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vec-tơ trong không gian ba chiều của vec-tơ. Đây là một trong hai phép nhân giữa các vec-tơ thường gặp (phép toán còn lại là nhân vô hướng). Phép nhân này khác nhân vô hướng ở điểm kết quả thu được là một giả vec-tơ thay cho một vô hướng. Kết quả này sẽ vuông góc với mặt phẳng chứa hai vec-tơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vec-tơ u và v trong không gian, ký hiệu là [u,v] hoặc u v là vec-tơ w thỏa mãn 3 điều kiện sau:

w có phương vuông góc với cả u và v.

|w| = |u| . |v| . sin, với  là góc hợp bởi cả u và v.

 

Tính chất và công thức tọa độ

Tính chất

+) [u1;u2] = – [u2;u1]

+) [u1;u2] = 0 ⇔ u1 cùng phương với u2

+) [u1;u2] u1; [u1;u2] u2

+) [u1;u2] . u3 = 0 ⇔ ba vec-tơ u1, u2, u3 đồng phẳng

+) |[u1;u2]| = |u1| . |u2|sin(u1;u2)

 

Công thức tọa độ

Tọa độ vec-tơ của tích có hướng của hai vec-tơ u = (u1;u2;u3) và v = (v1,v2,v3) là:

[u,v] = (|u2  u3|); – (|u1  u3|); – (|u1  u2|)

            |v2  v3|       |v1  v3|       |v1  v2|

trong đó định thức |a  b| = ad – bc.

                              |c  d|

Ứng dụng

Tích có hướng của hai vec-tơ có thể được ứng dụng để tính diện tích, thể tích một số loại hình như tam giác, khối hộp… trong mặt phẳng chứa hệ tọa độ vuông góc Oxyz. Khi bạn đã nắm vững các tính chất và công thức tính tọa độ cơ bản, việc sử dụng chúng sẽ trở nên đơn giản hơn trong những trường hợp này. 

  • Diện tích tam giác:

S ABC = ½ |[AB,AC]|

  • Diện tích hình bình hành:

S ABCD = |[AB,AD]| = |[AB,AC]|

  • Thể tích tứ diện:

V ABCD = ⅙ |[AB,AC] . AD|

  • Thể tích khối hộp:

V ABCD.A’B’C’D’ = |[AB.AD] . AA’|

Chú ý khi áp dụng

Để tránh xảy ra nhầm lẫn trong quá trình tính toán dẫn đến kết quả cuối cùng không được chính xác, bạn hãy tính tích có hướng của hai vec-tơ ở ngoài nháp theo trình tự sau:

B1: Viết tọa độ mỗi vec-tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai vec-tơ thẳng cột

x1  y1  z1  x1  y1  z1

x2  y2  z2  x2  y2  z2

B2: Xóa bỏ 2 cột ngoài cùng

x1  y1  z1  x1  y1  z1

x2  y2  z2  x2  y2  z2

B3: Tính toán theo quy luật nhân chéo rồi trừ

Ví dụ: Cho hai vec-tơ u = (1;5;3) và v = (2;-1;0). Tính tích có hướng của hai vec-tơ trên.

(chỉ viết ngoài nháp)

1  5  3  1  5  3

2 -1  0  2 -1  0

      3  6  -11

Vậy [u;v] = (3;6;-11).

Làm sao để nắm chắc kiến thức về tích vô hướng?

Kiến thức về tích vô hướng, vec-tơ và hệ tọa độ là kiến thức nền tảng cần được nắm kỹ và chắc chắn. Bạn cần lưu ý thực hiện các biện pháp sau để nắm vững kiến thức về tích có hướng:

  Nắm nền tảng các kiến thức vec-tơ, hệ tọa độ

  Thực hành các bài tập liên quan thường xuyên và áp dụng tích có hướng một cách linh hoạt

  Kết hợp tìm hiểu kiến thức về tích vô hướng, để tránh lầm lẫn hai kiến thức này.

Hiểu về kiến thức tích vô hướng, bạn sẽ dễ dàng áp dụng nó vào trong việc giải bài tập, tìm hiểu kiến thức toán học và áp dụng trong cuộc sống. Cho dù kiến thức về vec-tơ, tích vô hướng chỉ là kiến thức được dạy trên lớp nhưng sau này, chắc chắn sẽ có dịp bạn gặp lại các kiến thức này. Vì thế, cần tìm hiểu và nắm rõ để tránh bỡ ngỡ, khó khăn trong tiếp cận.

Có thể bạn quan tâm

  • may phun son 3

    Nên hay không nên dùng máy phun sơn thay cho lăn sơn thủ công?

    Trong thời buổi công nghệ hiện nay các loại máy móc luôn được tận dụng để công việc có hiệu quả hơn. Trong ngành sơn cũng không ngoại lệ, sự ra đời và phát triển của máy phun sơn là minh chứng cụ thể nhất. Vậy tại sao loại máy này lại được nhiều người …

  • Print name là gì? Tổng hợp những thuật ngữ Name phổ biến nhất hiện nay

    Hiện nay, việc con người ngày càng sống trong mối trường phát triển về kinh tế, văn hóa và nghệ thuật đã kéo theo rất nhiều xu hướng mới. Trong đó, tiếng Anh được đánh giá là ngôn ngữ phổ biến nhất trên toàn cầu hiện nay. Do đó, việc làm quen với các thuật …

  • Hidrat hóa là gì? Thế nào là Hidrat hóa tế bào?

    Hiện nay, nhu cầu sống khỏe, sống có ích của con người đang ngày càng được tăng cao. Chính vì vậy, cách chăm sóc sức khỏe cùng những liệu pháp đã được áp dụng. Tuy nhiên, để chăm sóc cơ thể tốt nhất thì bạn cần phải hiểu về tế bào của mình. Trong đó, …

  • Giờ hắc đạo là gì? Vì sao cần phải xem giờ hắc đạo?

    Hiện nay, trong thời buổi hiện đại làm việc gì con người ta cũng xem ngày và giờ sao cho tốt nhất. Trong lịch vạn niên, giờ hoàng đạo và giờ hắc đạo là những khung giờ đối lập nhau. Những giờ này sẽ luân phiên nhau trong một ngày để con người có thể …

  • Chữ Q đọc là gì? Cách phát âm chữ Q trong tiếng Anh chuẩn xác nhất

    Hiện nay, xã hội đang có những bước phát triển vượt bậc trong cả văn hóa và kinh tế. Chính vì vậy, với xu hướng toàn cầu hóa nên tiếng Anh đã ngày càng trở nên thông dụng hơn tại nhiều nước. Do đó, cách phát âm các chữ cái trong tiếng Anh cần phải …

  • Girl crush là gì? Tổng hợp các Girl Crush được nhắc đến nhiều nhất

    Hiện tại, những người yêu mến nhạc K-Pop đang ngày càng tăng lên. Trong đó, những thế hệ gen 2 và gen 3 trong K-Pop sẽ ưu tiên lựa chọn những phong cách cực kỳ dễ thương, trong sáng. Chính điều này đã tạo ra những thiện cảm với fan hâm mộ cả nam lẫn …