Khi học phổ thông, kiến thức về vec-tơ, tích có hướng, tích vô hướng là những kiến thức cơ bản và nền tảng. Đây là nguồn kiến thức quan trọng trong toán học và trong thực tế. Vậy, tích có hướng là gì? Chúng ta cũng tham khảo nhanh kiến thức này ngay!
Trong chương trình Toán học lớp 12 THPT về mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, có một đề mục rất quan trọng liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những phần lý thuyết tổng quát, dễ hiểu nhất của tích có hướng để nắm bắt nhanh chóng, áp dụng hiệu quả và cải thiện điểm số trên lớp học, nhất là các kiến thức về vec-tơ và tích có hướng.
Tích có hướng là gì?
Khái niệm: Tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vec-tơ trong không gian ba chiều của vec-tơ. Đây là một trong hai phép nhân giữa các vec-tơ thường gặp (phép toán còn lại là nhân vô hướng). Phép nhân này khác nhân vô hướng ở điểm kết quả thu được là một giả vec-tơ thay cho một vô hướng. Kết quả này sẽ vuông góc với mặt phẳng chứa hai vec-tơ đầu vào của phép nhân.
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vec-tơ u và v trong không gian, ký hiệu là [u,v] hoặc u v là vec-tơ w thỏa mãn 3 điều kiện sau:
w có phương vuông góc với cả u và v.
|w| = |u| . |v| . sin, với là góc hợp bởi cả u và v.
Tính chất và công thức tọa độ
Tính chất
+) [u1;u2] = – [u2;u1]
+) [u1;u2] = 0 ⇔ u1 cùng phương với u2
+) [u1;u2] u1; [u1;u2] u2
+) [u1;u2] . u3 = 0 ⇔ ba vec-tơ u1, u2, u3 đồng phẳng
+) |[u1;u2]| = |u1| . |u2|sin(u1;u2)
Công thức tọa độ
Tọa độ vec-tơ của tích có hướng của hai vec-tơ u = (u1;u2;u3) và v = (v1,v2,v3) là:
[u,v] = (|u2 u3|); – (|u1 u3|); – (|u1 u2|)
|v2 v3| |v1 v3| |v1 v2|
trong đó định thức |a b| = ad – bc.
|c d|
Ứng dụng
Tích có hướng của hai vec-tơ có thể được ứng dụng để tính diện tích, thể tích một số loại hình như tam giác, khối hộp… trong mặt phẳng chứa hệ tọa độ vuông góc Oxyz. Khi bạn đã nắm vững các tính chất và công thức tính tọa độ cơ bản, việc sử dụng chúng sẽ trở nên đơn giản hơn trong những trường hợp này.
- Diện tích tam giác:
S ABC = ½ |[AB,AC]|
- Diện tích hình bình hành:
S ABCD = |[AB,AD]| = |[AB,AC]|
- Thể tích tứ diện:
V ABCD = ⅙ |[AB,AC] . AD|
- Thể tích khối hộp:
V ABCD.A’B’C’D’ = |[AB.AD] . AA’|
Chú ý khi áp dụng
Để tránh xảy ra nhầm lẫn trong quá trình tính toán dẫn đến kết quả cuối cùng không được chính xác, bạn hãy tính tích có hướng của hai vec-tơ ở ngoài nháp theo trình tự sau:
B1: Viết tọa độ mỗi vec-tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai vec-tơ thẳng cột
x1 y1 z1 x1 y1 z1
x2 y2 z2 x2 y2 z2
B2: Xóa bỏ 2 cột ngoài cùng
x1 y1 z1 x1 y1 z1
x2 y2 z2 x2 y2 z2
B3: Tính toán theo quy luật nhân chéo rồi trừ
Ví dụ: Cho hai vec-tơ u = (1;5;3) và v = (2;-1;0). Tính tích có hướng của hai vec-tơ trên.
(chỉ viết ngoài nháp)
1 5 3 1 5 3
2 -1 0 2 -1 0
3 6 -11
Vậy [u;v] = (3;6;-11).
Làm sao để nắm chắc kiến thức về tích vô hướng?
Kiến thức về tích vô hướng, vec-tơ và hệ tọa độ là kiến thức nền tảng cần được nắm kỹ và chắc chắn. Bạn cần lưu ý thực hiện các biện pháp sau để nắm vững kiến thức về tích có hướng:
– Nắm nền tảng các kiến thức vec-tơ, hệ tọa độ
– Thực hành các bài tập liên quan thường xuyên và áp dụng tích có hướng một cách linh hoạt
– Kết hợp tìm hiểu kiến thức về tích vô hướng, để tránh lầm lẫn hai kiến thức này.
Hiểu về kiến thức tích vô hướng, bạn sẽ dễ dàng áp dụng nó vào trong việc giải bài tập, tìm hiểu kiến thức toán học và áp dụng trong cuộc sống. Cho dù kiến thức về vec-tơ, tích vô hướng chỉ là kiến thức được dạy trên lớp nhưng sau này, chắc chắn sẽ có dịp bạn gặp lại các kiến thức này. Vì thế, cần tìm hiểu và nắm rõ để tránh bỡ ngỡ, khó khăn trong tiếp cận.
